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重點提要 
■人們以為鮮少發生的事，其實天天都在我們身邊上演。數學上的巨數法則和組合法則可解釋箇中原因。 
■一個房裡只要有23個人，其中有兩人同一天生日的機率就會達到0.51，比一半還高。 
■保加利亞的樂透在2009年9月6日隨機開出的中獎號碼為4、15、23、24、35、42，同樣的一組號碼在四天之後又開出了。美國北卡羅來納州的樂透「現金5」也曾在2007年7月9日和11日開出相同的中獎號碼。奇怪嗎？根據機率的原理，並不奇怪。
 

有一組數學法則，我稱之為「不大可能原理」（Improbability Principle），根據這套原理，我們其實不該對巧合感到訝異，事實上還應該期待巧合的發生。這套原理的關鍵之一是巨數法則（law of truly large numbers）。根據巨數法則，不管一件事有多麼不可能發生，只要給予足夠多的機會，應該就可以期待它會發生。但是有的時候即使機會其實很多，看起來卻像是很少。這種錯覺會導致我們大幅低估事件發生的機率：也就是原來以為極不可能發生的一件事，事實上卻極有可能發生，也許還幾乎是必然發生。 
 

但是機會如何在人們不知不覺的狀況下大量出現呢？與「不大可能原理」相關的組合法則（law of combinations）指出了其中的道理。根據組合法則，相互作用的元素之間彼此的組合方式，會隨著元素的數量變多而呈指數增加。「生日問題」正是著名的例子之一。
 

生日問題的內容是：在一個房間裡至少要有多少人，「任何兩人同一天生日」的機率才會高於「沒有人同一天生日」的機率？
 

答案是只要23人。如果房間裡有23人或更多的人，「任何兩人同一天生日」的機率就會高於相反的狀況。
 

從沒聽說過生日問題的人，可能會大吃一驚，因為23聽起來是個相當小的數字。一般人可能這樣推論：房間裡任何一個特定的人，只有1/365的機率可能和我同一天生日；所以任何特定的人和我不同天生日的機率是364/365。如果房間裡面有n個人，其他n－1個人當中的每一個，和我不同天生日的機率都是364/365，所以這n－1個人全部和我不同天生日的機率會等於364/365×364/365×364/365×364/365......×364/365，也就是把364/365乘上n－1次。如果n等於23，這樣相乘得出的乘積為0.94。
 

由於這是沒有任何人和我同一天生日的機率，那麼至少有一人和我同一天生日的機率，就是1－0.94。因為狀況只有兩種，不是有人和我同一天生日、就是沒有人和我同一天生日，所以這兩種狀況的機率相加必然等於1。1－0.94＝0.06，這是個很小的數字。

不過上面的計算並不正確，因為這個數字是有人和你同一天生日的機率，並不是生日問題所要的答案。生日問題問的是：同一個房間裡任何兩人同一天生日的機率。其中當然包括有人和你同一天生日的機率，也就是剛剛計算的結果。只是除了你的生日之外，其他任何兩人或更多人同一天生日的機率也必須加進來。
 

接下來輪到組合法則登場了。雖然房間裡可能和你同一天生日的人只有n－1位，不過兩人一組的組合方式卻總共有n×（n－1）/2種。這個數字會隨著n變大而快速增加。當n等於23，組合方式有253種，超過n－1＝22的10倍以上。也就是說，當房間裡有23個人，兩人一組的方式總共有253種，但其中包括你在內的只有22組。
 

讓我們來看看房間裡23人當中沒有任何人同一天生日的機率。對任何兩人來說，第二個人和第一個人生日不同的機率為364/365。這兩人的生日不同而且第三人與這兩人的生日也不同的機率，會是364/365×363/365。同樣地，這三人生日不同、而且第四人與這三人的生日也不同的機率，是364/365×363/365×362/365。依此類推，則23人當中沒有任何人同一天生日的機率就是364/365×363/365×362/365×361/365......×343/365。 
 

乘積算出來為0.49。由於23人當中沒有任何人同一天生日的機率是0.49，所以有人同一天生日的機率就是1－0.49，等於0.51，超過一半。 
 

【欲閱讀更豐富內容，請參閱科學人2014年第145期3月號】